9 класс
Геометрия, 9 класс
Год, который собирает планиметрию целиком: синус и косинус любого угла, теоремы синусов и косинусов, правильные многоугольники и круг, координаты и векторы, движения и подобие — с итоговой подготовкой к ОГЭ.
Мини-игры в этом курсе
Программа курса
🔺 Решение треугольников
Ты узнаешь, что такое синус, косинус и тангенс тупого угла, докажешь теоремы косинусов и синусов, научишься находить любую сторону и любой угол треугольника по трём данным, измерять расстояние до недоступной точки и считать площадь треугольника разными способами — через синус угла, по формуле Герона и через радиусы вписанной и описанной окружностей.
- 🧭 Синус, косинус и тангенс угла от 0° до 180° Расширяем синус, косинус и тангенс с острых углов на все углы от 0° до 180° с помощью единичной полуокружности, выводим формулы приведения и учимся не терять знак.
- 📏 Теорема косинусов Доказываем теорему косинусов, находим сторону по двум сторонам и углу между ними и угол по трём сторонам, определяем вид треугольника без транспортира и выводим тождество параллелограмма.
- ⭕ Теорема синусов Доказываем теорему синусов вместе с радиусом описанной окружности, находим стороны по стороне и двум углам и разбираемся, когда у задачи два ответа.
- 🗺️ Решение треугольников и измерения на местности Собираем теоремы косинусов и синусов в один план: решаем треугольник по любым трём данным, измеряем расстояние до недоступной точки и высоту башни, проверяем ответ.
- 🔻 Формулы площади треугольника Собираем полный набор формул площади треугольника — через синус угла, формулу Герона, S = p · r и S = abc : 4R — и учимся выбирать нужную по тому, что дано.
- 🎯 Практикум: решение треугольников Повторяем модуль: шпаргалка значений и формул, план решения треугольника, частые ошибки и задания в формате ОГЭ.
🍕 Правильные многоугольники и круг
Ты научишься находить углы, стороны и радиусы правильных многоугольников, поймёшь, откуда берутся формулы длины окружности и площади круга, которые в 6 классе были просто правилами, познакомишься с радианами и будешь считать длины дуг и площади секторов и сегментов.
- 🔩 Правильные многоугольники Разберёмся, какой многоугольник называют правильным, найдём его центр и выведем через тригонометрию сторону, радиусы вписанной и описанной окружностей и площадь.
- 🚲 Длина окружности и дуги, радианная мера угла Докажем, почему число π одинаково для всех окружностей, научимся находить длину дуги и познакомимся с новой единицей угла — радианом.
- 🍕 Площадь круга, сектора и сегмента Выведем формулу площади круга через правильные многоугольники и научимся считать площади сектора, сегмента, кольца и фигур на клетчатой бумаге.
- 🎯 Практикум: правильные многоугольники и круг Соберём модуль в одну шпаргалку, разберём порядок решения и частые ошибки и потренируемся на заданиях в формате ОГЭ.
📍 Декартовы координаты на плоскости
Ты переведёшь геометрию на язык чисел: будешь находить расстояния и середины отрезков по координатам, составлять уравнения окружности и прямой, искать точки их пересечения и доказывать теоремы методом координат.
- 📏 Расстояние между точками и середина отрезка Переведём геометрию на язык чисел: по координатам концов найдём длину отрезка и его середину, узнаем вид треугольника и достроим параллелограмм.
- ⭕ Уравнения окружности и прямой Выведем уравнение окружности из формулы расстояния, а уравнение прямой — из серединного перпендикуляра, и научимся читать по уравнению центр, радиус и угол наклона.
- 🎯 Пересечение линий и метод координат Научимся находить общие точки прямых и окружностей через системы уравнений, узнавать по дискриминанту касание и доказывать теоремы методом координат.
- 🗺️ Практикум: координаты на плоскости Повторим все формулы модуля одной шпаргалкой, разберём доказательство методом координат и решим задания в формате ОГЭ: клетки, графики, окружности и параллелограммы.
🏹 Векторы
Ты узнаешь, чем вектор отличается от отрезка, научишься складывать и вычитать векторы, умножать их на число и раскладывать по двум направлениям, работать с координатами векторов и находить углы и длины через скалярное произведение.
- 🏹 Вектор: длина, направление, координаты Разберёмся, чем вектор отличается от отрезка, какие векторы коллинеарны и какие равны, и научимся находить координаты и длину вектора по его началу и концу.
- ➕ Сложение и вычитание векторов Научимся складывать векторы по правилам треугольника, параллелограмма и многоугольника, вычитать их и делать то же самое в координатах.
- ✖️ Умножение вектора на число и разложение вектора Научимся умножать вектор на число, проверять коллинеарность по координатам, раскладывать вектор по двум неколлинеарным и доказывать теоремы векторным способом.
- 🎯 Скалярное произведение векторов Введём скалярное произведение векторов, выведем его формулу в координатах и научимся с его помощью находить углы, проверять перпендикулярность и вычислять длины.
- 🏹 Практикум: векторы Собираем модуль в одну шпаргалку, учимся решать задачи векторным способом и тренируемся на заданиях в формате ОГЭ: клетчатая бумага, верные утверждения, углы по координатам и доказательство.
🔄 Движения и подобие
Ты разберёшься, какие преобразования плоскости сохраняют расстояния — симметрии, параллельный перенос и поворот, — найдёшь внутренние симметрии фигур, познакомишься с гомотетией и поймёшь, что значит «подобные фигуры» не только для треугольников.
- 🪞 Движения: осевая и центральная симметрия Узнаем, что в геометрии называют движением, докажем, что осевая и центральная симметрии сохраняют расстояния, запишем их в координатах и найдём внутренние симметрии фигур.
- 🎡 Параллельный перенос и поворот Разберём ещё два движения — параллельный перенос и поворот, запишем их в координатах, увидим перенос в уравнениях параболы и окружности и найдём поворотную симметрию правильных многоугольников.
- 🔍 Гомотетия и подобие фигур Познакомимся с гомотетией — преобразованием, которое увеличивает или уменьшает фигуру от центра, узнаем, что такое подобие любых фигур, и научимся считать соответственные длины и площади.
- 🧩 Практикум: движения и подобие Повторим все преобразования плоскости — симметрии, перенос, поворот, гомотетию — и решим задачи в формате ОГЭ: клетчатая бумага, верные утверждения, подобие в треугольниках и в окружности.
🏁 Итоги года: планиметрия к ОГЭ
Ты соберёшь планиметрию 7–9 классов в одну систему, научишься выбирать метод решения задачи, оформлять доказательство так, как его проверяют на экзамене, и напишешь итоговую работу по геометрии в формате ОГЭ.
- 🧭 Задачи на вычисление: как выбрать метод Соберём методы планиметрии 7–9 классов в одну карту, научимся выбирать метод по условию, делать дополнительные построения, считать одну площадь двумя способами и оформлять решение так, как его проверяют на ОГЭ.
- 🔍 Задачи на доказательство и верные утверждения Разберём, как строится доказательство на ОГЭ и какие ссылки засчитывают, повторим окружность 8 класса как самую «доказательную» тему, научимся разбирать случаи и опровергать утверждение одним контрпримером.
- 🎓 Практикум: итоговая работа по геометрии в формате ОГЭ Шпаргалка по планиметрии 9 класса, стратегия работы с вариантом и полный набор геометрических заданий в формате ОГЭ: треугольник, четырёхугольник, окружность, клетчатая бумага, верные утверждения, практическая задача, вычисление и доказательство.
Первые 5 уроков — бесплатно
Регистрация по почте не нужна: вход через мессенджер MAX занимает одно касание.