8 класс
Геометрия, 8 класс
Год больших теорем: параллелограмм и трапеция, теорема Фалеса, площади и теорема Пифагора, подобные треугольники, синус, косинус и тангенс, углы в окружности и замечательные точки треугольника — с подготовкой к ВПР и ОГЭ.
Мини-игры в этом курсе
Программа курса
🪁 Четырёхугольники и теорема Фалеса
Ты докажешь свойства и признаки параллелограмма, прямоугольника, ромба, квадрата и трапеции, которые в 6 классе были просто фактами, научишься по признакам узнавать фигуру на чертеже, разделишь отрезок на равные части по теореме Фалеса и найдёшь средние линии треугольника и трапеции.
- 🔷 Параллелограмм и его свойства Дадим параллелограмму настоящее определение, докажем два его свойства — про стороны с углами и про диагонали — и научимся находить углы и стороны по одному-двум числам.
- 🔍 Признаки параллелограмма и удвоение медианы Разберёмся, чем признак отличается от свойства, докажем три признака параллелограмма, посмотрим на контрпримеры и освоим приём удвоения медианы.
- 💎 Прямоугольник, ромб и квадрат Выясним, чем прямоугольник, ромб и квадрат отличаются от обычного параллелограмма, докажем их особые свойства и признаки и разберёмся, кто кому в этой семье родственник.
- 🏛️ Трапеция: равнобокая и прямоугольная Определим трапецию, её основания, боковые стороны и высоту, докажем свойства и признаки равнобокой трапеции, разберём прямоугольную и освоим приём «опустить две высоты».
- 📏 Теорема Фалеса и средние линии Докажем теорему Фалеса, разделим отрезок на любое число равных частей без вычислений, а потом выведем теоремы о средних линиях треугольника и трапеции.
- 🧰 Практикум: четырёхугольники и теорема Фалеса Соберём модуль в одну шпаргалку, отработаем порядок решения задач о четырёхугольниках и потренируемся на заданиях в формате ВПР и ОГЭ — от биссектрисы параллелограмма до средней линии по клеткам.
🟧 Площади и теорема Пифагора
Ты поймёшь, откуда берутся формулы площадей прямоугольника, параллелограмма, треугольника, трапеции и ромба, научишься считать площадь любой фигуры на клетчатой бумаге, докажешь теорему Пифагора через площади и будешь находить стороны, высоты и расстояния там, где есть прямой угол.
- 🧱 Площадь: свойства, прямоугольник и клетчатая бумага Разберёмся, что такое площадь на самом деле, докажем формулу площади прямоугольника через квадрат суммы и научимся находить площадь любой косой фигуры на клетчатой бумаге.
- 🔷 Площадь параллелограмма и треугольника Выведем формулы площади параллелограмма и треугольника из площади прямоугольника, разберёмся, какая высота к какой стороне, и докажем, как относятся площади треугольников с равными высотами или равным углом.
- 🪁 Площадь трапеции, ромба и сложных фигур Выведем площадь трапеции через два треугольника, площадь ромба и любого четырёхугольника с перпендикулярными диагоналями — и научимся резать, достраивать и вырезать, чтобы посчитать площадь фигуры любой формы.
- 📐 Теорема Пифагора Докажем самую знаменитую теорему геометрии через площади, познакомимся с пифагоровыми тройками и числом √2 и научимся находить гипотенузу, катет, диагональ, высоту и расстояние везде, где есть прямой угол.
- 🪢 Обратная теорема Пифагора и её применение Докажем теорему, обратную теореме Пифагора, научимся по трём сторонам узнавать прямой угол, разберёмся с наклонной и её проекцией и заглянем в пространство — к диагонали коробки.
- 🏁 Практикум: площади и теорема Пифагора Соберём все формулы площадей и теорему Пифагора в одну шпаргалку, разберём порядок решения задач и потренируемся на заданиях в формате ВПР и ОГЭ: клетчатая бумага, лестницы, экраны, трапеции и проверка троек.
🪆 Подобные треугольники
Ты узнаешь, что такое подобные треугольники и коэффициент подобия, докажешь три признака подобия и научишься находить по ним отрезки, площади и периметры, а потом измеришь высоту дерева по тени и расстояние до недоступной точки — как это делали геометры две с половиной тысячи лет назад.
- 🪆 Пропорциональные отрезки и подобные треугольники Разберёмся, что значит «одинаковая форма при разном размере»: определим подобные треугольники и коэффициент подобия, докажем, как при подобии меняются периметр и площадь, и применим это к биссектрисе, плану и карте.
- 🔺 Первый признак подобия и пропорциональные отрезки Докажем первый признак подобия — по двум углам, выведем из него обобщённую теорему Фалеса и научимся находить отрезки на чертежах с параллельными прямыми, в «бабочке» и в трапеции.
- 📐 Второй и третий признаки подобия Докажем признаки подобия по двум сторонам и углу между ними и по трём сторонам, научимся выбирать нужный признак по условию и разберём «бабочку», где параллельность не дана, а доказывается.
- 🌳 Подобие в деле: измерения и прямоугольный треугольник Применим подобие внутри прямоугольного треугольника — высота к гипотенузе, проекции катетов, среднее пропорциональное — и на местности: высота дерева по тени и по зеркалу, расстояние до недоступной точки, фонарь и тень.
- 🏁 Практикум: подобные треугольники Собираем модуль в одну шпаргалку: определение и три признака подобия, k и k², биссектриса, обобщённая теорема Фалеса, высота к гипотенузе — и решаем задания в формате ВПР и ОГЭ по общему алгоритму.
⛰️ Начала тригонометрии
Ты познакомишься с синусом, косинусом и тангенсом острого угла, поймёшь, почему они зависят только от угла, выведешь их значения для 30°, 45° и 60°, научишься решать прямоугольные треугольники и считать высоту горы, длину лестницы и уклон дороги.
- 📐 Синус, косинус и тангенс острого угла Введём синус, косинус и тангенс острого угла, докажем, что они зависят только от угла, выведем основное тригонометрическое тождество и научимся находить стороны прямоугольного треугольника по углу.
- ⛰️ Углы 30°, 45°, 60° и решение прямоугольных треугольников Выведем точные значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30°, 45° и 60°, научимся решать прямоугольный треугольник по двум данным и разберёмся, что показывает число на знаке «Крутой подъём».
- 🛠️ Практикум: начала тригонометрии Повторяем модуль: шпаргалка по синусу, косинусу и тангенсу, таблица для 30°, 45°, 60°, план решения задач по чертежу и на клетчатой бумаге и задания в формате ВПР и ОГЭ.
🎯 Окружность и итоги года
Ты научишься считать углы в окружности через дуги — центральные, вписанные, между хордами, секущими и касательной, разберёшься, как могут располагаться две окружности, найдёшь все четыре замечательные точки треугольника, узнаешь, какие четырёхугольники вписываются в окружность и описываются около неё, и повторишь геометрию 8 класса в формате ВПР и ОГЭ.
- 🎯 Центральные и вписанные углы Научимся измерять дуги в градусах, докажем главную теорему модуля — вписанный угол равен половине дуги — и выясним, почему прямой угол всегда опирается на диаметр, а отрезки пересекающихся хорд связаны одним произведением.
- ✂️ Углы между хордами, секущими и касательной Разберём, как считать угол, вершина которого не в центре и не на окружности: между касательной и хордой, между двумя хордами, между двумя секущими — и докажем теорему о касательной и секущей.
- ⚙️ Две окружности и общие касательные Выясним по двум радиусам и расстоянию между центрами, как расположены две окружности, сколько у них общих точек и общих касательных, и посчитаем длину общей касательной через прямоугольную трапецию.
- 🔺 Медианы, высоты и четыре замечательные точки Докажем, что медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2 : 1, что высоты тоже сходятся в одной точке, и соберём все четыре замечательные точки треугольника в одну таблицу.
- 💠 Вписанные и описанные четырёхугольники Разберёмся, какие четырёхугольники можно вписать в окружность и около каких описать, докажем два главных свойства — сумму противоположных углов и сумму противоположных сторон — и научимся считать площадь через полупериметр и радиус.
- 🏁 Практикум: окружность и итоги 8 класса Соберём в одну шпаргалку все углы и отрезки в окружности, две окружности, четыре замечательные точки и вписанные четырёхугольники, а потом пройдём весь год — четырёхугольники, площади, Пифагор, подобие, тригонометрия — в формате ВПР и ОГЭ.
Первые 5 уроков — бесплатно
Регистрация по почте не нужна: вход через мессенджер MAX занимает одно касание.