11 класс
Геометрия, 11 класс
Второй год стереометрии: тела вращения, объёмы тел, векторы и координаты в пространстве с заданиями базового и профильного ЕГЭ, а в модулях «Профиль» — координатный метод, комбинации тел и итоговая планиметрия второй части.
Мини-игры в этом курсе
Программа курса
🥫 Тела вращения
Ты изучишь цилиндр, конус, усечённый конус, сферу и шар, научишься строить их сечения и развёртки, считать площади поверхностей и решать задачи, где тело вращения вписано в многогранник или описано около него.
- 🥫 Цилиндр: сечения, развёртка и площадь поверхности Разберём цилиндр как тело стереометрии: цилиндрическую поверхность, три вида сечений, развёртку и формулы площади поверхности, цилиндр, вписанный в призму и описанный около неё, и задачи ЕГЭ с ответом, делённым на π.
- 🍦 Конус и усечённый конус Разберём коническую поверхность и конус, его сечения и развёртку, выведем формулы площади боковой поверхности конуса и усечённого конуса и научимся вписывать конус в пирамиду и описывать около неё.
- 🌐 Сфера и шар: сечения, касательная плоскость и площадь сферы Дадим строгие определения сферы и шара, разберём, как сфера расположена относительно плоскости, докажем главное свойство касательной плоскости, применим формулу площади сферы и найдём сферы, описанные около куба и параллелепипеда и вписанные в куб.
- 🎯 Практикум: тела вращения Соберём формулы цилиндра, конуса, усечённого конуса и сферы в одну шпаргалку, закрепим приём «сначала осевое сечение» и решим задачи в формате ЕГЭ на площади поверхностей, развёртки, сечения шара и комбинации тел.
📦 Объёмы тел
Ты узнаешь, что такое объём и почему пирамида занимает ровно треть призмы с тем же основанием и высотой, выведешь формулы объёмов призмы, пирамиды, цилиндра, конуса, шара и его частей, поймёшь, как меняются площадь и объём подобных тел, и решишь задачи базового ЕГЭ про сосуды и составные тела.
- 📦 Объём: свойства, призма и цилиндр Разберёмся, что такое объём как величина, выведем формулу V = S_осн · h для любой призмы — и прямой, и наклонной — с помощью принципа Кавальери, найдём объём цилиндра и решим задачи ЕГЭ о переливании жидкости и погружении детали.
- 🔺 Объём пирамиды и конуса Докажем, что пирамида занимает ровно треть призмы с тем же основанием и высотой, выведем объёмы конуса, усечённой пирамиды и усечённого конуса и научимся считать объём тетраэдра через удобную грань.
- 🔮 Объём шара и его частей Выведем объём шара по принципу Кавальери, увидим, как он связан с площадью сферы, научимся находить объёмы шарового сегмента, слоя и сектора и решим задачи ЕГЭ об изменении радиуса и переплавке шаров.
- 🪆 Подобные тела и объёмы в задачах ЕГЭ Разберёмся, как меняются длины, площади и объёмы подобных тел, решим задачи ЕГЭ о жидкости в конусе, об изменении размеров и о составных многогранниках и соберём в одну таблицу все формулы площадей и объёмов 10–11 классов.
- 🧪 Практикум: объёмы тел Повторим все формулы объёмов модуля, разберём, как не потерять балл на высоте, множителе ⅓ и подобии, и решим подборку задач в формате ЕГЭ — от пирамиды, отсечённой от куба, до жидкости в конусе и составного многогранника.
🧭 Векторы и координаты в пространстве
Ты перенесёшь векторы в пространство, научишься раскладывать вектор по трём некомпланарным векторам, работать с координатами точек и векторов, находить углы через скалярное произведение, составлять уравнение плоскости и подведёшь итоги года в формате базового ЕГЭ.
- 🚁 Векторы в пространстве Перенесём векторы из планиметрии в пространство, освоим правило параллелепипеда, разберёмся, какие векторы компланарны, и научимся раскладывать любой вектор по трём некомпланарным.
- 📍 Координаты точки и вектора в пространстве Введём прямоугольную систему координат в пространстве и научимся находить координаты точек и векторов, длину вектора, расстояние между точками, середину отрезка, симметричные точки и уравнение сферы.
- 🎯 Скалярное произведение и угол между прямыми Выведем формулу скалярного произведения в пространственных координатах, научимся находить угол между векторами и между прямыми и решим координатным методом задачу, которая в 10 классе требовала теоремы о трёх перпендикулярах.
- 🧱 Уравнение плоскости и угол между прямой и плоскостью Выведем уравнение плоскости через вектор нормали, научимся составлять его по трём точкам и находить координатным методом угол между прямой и плоскостью и угол между плоскостями.
- 🏁 Практикум: векторы, координаты и итоги года Повторим векторы, координаты, скалярное произведение и уравнение плоскости, соберём формулы всего года в одну карту и прорешаем подборку заданий в формате ЕГЭ.
🛰️ Профиль: углы и расстояния координатным методом
Для профильного ЕГЭ: ты научишься вводить координаты в призмах и пирамидах и находить координатным методом и методом объёмов расстояния от точки до плоскости и до прямой, между скрещивающимися прямыми, углы между прямыми и плоскостями — и оформлять такое решение по критериям.
- 📏 Расстояние от точки до плоскости: формула и метод объёмов Научимся ставить оси в призмах и пирамидах, составлять уравнение плоскости по трём точкам, выведем формулу расстояния от точки до плоскости и освоим метод объёмов — два способа, которые на ЕГЭ засчитывают наравне с геометрическим.
- 📐 Углы координатным методом Соберём три формулы для углов между прямыми, прямой и плоскостью и плоскостями, поймём, откуда в них модули и почему в одной стоит синус, и решим задачи в призме и пирамиде с проверкой ответа.
- 🛣️ Расстояние между скрещивающимися прямыми и от точки до прямой Найдём расстояние между скрещивающимися прямыми через общую нормаль и одно скалярное произведение, а расстояние от точки до прямой — через проекцию вектора и теорему Пифагора, без построения перпендикуляров.
- 🛰️ Практикум: стереометрическая задача координатным методом Повторим, как ставить оси в призмах и пирамидах и какие формулы дают углы и расстояния, разберём образец оформления задачи второй части и критерии, а потом решим три задачи в формате ЕГЭ.
🔮 Профиль: комбинации тел и объёмы
Для профильного ЕГЭ: ты научишься находить сферы, вписанные в многогранник и описанные около него, считать объёмы частей многогранника, отсечённых плоскостью, и решать задачи с комбинациями цилиндра, конуса и шара.
- 🔮 Шар и многогранник: вписанная и описанная сферы Разберём, где лежат центры сферы, описанной около многогранника, и сферы, вписанной в него, когда такие сферы существуют и как быстро найти их радиусы в пирамиде, призме и правильном тетраэдре.
- ✂️ Объёмы частей многогранника и тела вращения во второй части Докажем лемму об отношении объёмов тетраэдров с общим трёхгранным углом, научимся находить, в каком отношении сечение делит объём пирамиды, и сведём задачи о конусах, цилиндрах и шарах к планиметрии осевого сечения.
- 🧩 Практикум: комбинации тел и объёмы Повторим, где лежат центры вписанной и описанной сфер, как решать комбинации тел через одно сечение и как считать объёмы частей многогранника, и решим задачи в формате профильного ЕГЭ.
🏁 Профиль: итоговая планиметрия ЕГЭ
Для профильного ЕГЭ: ты завершишь подготовку к планиметрической задаче второй части — касающиеся окружности и лемма Архимеда, приёмы для трапеции и вписанных четырёхугольников, теорема Птолемея — и напишешь итоговую работу по критериям.
- ⭕ Касающиеся окружности: касательные, гомотетия и лемма Архимеда Выведем отрезок общей касательной 2√(Rr) и прямой угол при точке касания, увидим гомотетию с центром в точке касания, докажем лемму Архимеда и разберём цепочки касающихся окружностей со всеми случаями.
- 🔶 Трапеция и вписанные четырёхугольники во второй части Разберём приёмы для трапеции второй части — замечательное свойство, перенос диагонали, биссектрисы при боковой стороне и вписанно-описанную трапецию — и докажем теорему Птолемея с её следствиями.
- 🏁 Практикум: итоговая планиметрия ЕГЭ Итоговая работа по планиметрии второй части: шпаргалка «видишь — вспомни» за два года, правила оформления, критерии оценивания, образец решения и задачи в формате ЕГЭ.
Первые 5 уроков — бесплатно
Регистрация по почте не нужна: вход через мессенджер MAX занимает одно касание.