10 класс
Геометрия, 10 класс
Первый год стереометрии: аксиомы, параллельность и перпендикулярность в пространстве, углы и расстояния, многогранники и их сечения с заданиями ЕГЭ, а в модулях «Профиль» — планиметрия и стереометрия второй части профильного ЕГЭ.
Мини-игры в этом курсе
Программа курса
🧊 Введение в стереометрию
Ты узнаешь, чем стереометрия отличается от планиметрии, на каких аксиомах она стоит и что из них следует, научишься правильно рисовать куб, тетраэдр и параллелепипед и строить их простейшие сечения.
- 📏 Стереометрия: точка, прямая, плоскость и аксиомы Выйдем из плоскости в пространство: разберём основные понятия стереометрии, три её аксиомы и два следствия с доказательствами и научимся отвечать на вопрос «сколько плоскостей».
- 🧊 Как изображать пространственные фигуры и первые сечения Научимся рисовать куб, тетраэдр и параллелепипед по правилам, строить линию пересечения двух плоскостей и простейшие сечения и находить их периметры и площади.
- 🎯 Практикум: введение в стереометрию Повторим аксиомы и следствия, правила изображения, элементы куба и тетраэдра и простейшие сечения, а потом решим задания на время и в формате ЕГЭ.
🛤️ Параллельность прямых и плоскостей
Ты разберёшься, как в пространстве располагаются две прямые, прямая и плоскость, две плоскости, научишься доказывать параллельность по признакам и находить угол между скрещивающимися прямыми, поймёшь, почему рисунки в стереометрии устроены именно так, и будешь строить сечения тетраэдра и параллелепипеда.
- 🔀 Параллельные и скрещивающиеся прямые Разбираем три случая расположения двух прямых в пространстве, доказываем теорему о трёх параллельных прямых и признак скрещивающихся прямых и учимся распознавать их на кубе и тетраэдре.
- 📐 Угол между прямыми в пространстве Доказываем теорему об углах с сонаправленными сторонами, определяем угол между скрещивающимися прямыми и находим его в кубе и призме переносом и теоремой косинусов.
- 🏗️ Параллельность прямой и плоскости Разбираем три случая расположения прямой и плоскости, доказываем признак параллельности и свойство, на котором стоят сечения, и строим сечение тетраэдра, параллельное двум рёбрам.
- 📚 Параллельность плоскостей и параллельное проектирование Доказываем признак и свойства параллельных плоскостей, разбираем параллельное проектирование и выясняем, почему рисунки в стереометрии устроены именно так.
- 🧀 Тетраэдр и параллелепипед: построение сечений Доказываем свойства параллелепипеда и тетраэдра, собираем правила построения сечений и строим сечения через три точки — с параллельными сторонами и с точкой пересечения прямой и плоскости.
- 🧩 Практикум: параллельность в пространстве Повторяем модуль: шпаргалка по расположению прямых и плоскостей, алгоритмы доказательств и вычислений, частые ошибки и задания в формате ЕГЭ — углы, сечения и пункт «докажите».
📏 Перпендикулярность прямых и плоскостей
Ты узнаешь, когда прямая перпендикулярна плоскости и как это доказать, научишься находить расстояния от точки до плоскости и между скрещивающимися прямыми и применять теорему о трёх перпендикулярах — главный инструмент стереометрии.
- 📐 Перпендикулярность прямой и плоскости Разбираемся, что значит «прямая перпендикулярна плоскости», доказываем признак перпендикулярности и его связи с параллельностью и применяем их в кубе, тетраэдре и пирамиде.
- 📏 Перпендикуляр, наклонная и расстояния Учимся отличать перпендикуляр от наклонной, находить проекции наклонных и все виды расстояний в пространстве — от точки до плоскости, между параллельными плоскостями и между скрещивающимися прямыми.
- 🔦 Теорема о трёх перпендикулярах Доказываем теорему о трёх перпендикулярах и обратную ей, находим расстояние от точки до прямой в пространстве и высоту боковой грани пирамиды и доказываем, что диагональ куба перпендикулярна плоскости.
- 🎯 Практикум: перпендикулярность в пространстве Повторяем признак перпендикулярности, перпендикуляр и наклонную, все виды расстояний и теорему о трёх перпендикулярах и решаем задачи в формате ЕГЭ — от расчёта в кубе до пункта «докажите».
📖 Углы между прямыми и плоскостями
Ты научишься строить и вычислять угол между прямой и плоскостью и двугранный угол, доказывать перпендикулярность плоскостей и находить диагонали и углы прямоугольного параллелепипеда.
- 📐 Угол между прямой и плоскостью Разбираемся, что такое ортогональная проекция, почему угол между прямой и плоскостью измеряют именно с проекцией и как находить его в кубе, параллелепипеде и пирамиде через прямоугольный треугольник.
- 📖 Двугранный угол Узнаём, что такое двугранный угол и его линейный угол, чем двугранный угол отличается от угла между плоскостями и как строить линейный угол через теорему о трёх перпендикулярах в пирамиде, кубе и тетраэдре.
- 🚪 Перпендикулярность плоскостей и прямоугольный параллелепипед Доказываем признак и свойство перпендикулярных плоскостей, учимся с их помощью опускать перпендикуляр на плоскость, выводим формулу диагонали прямоугольного параллелепипеда и находим в нём углы.
- 🎯 Практикум: углы в пространстве Повторяем три угла стереометрии, перпендикулярность плоскостей и диагональ прямоугольного параллелепипеда и решаем задачи в формате ЕГЭ: угол диагонали с основанием, угол грани пирамиды с основанием, угол между плоскостями.
💎 Многогранники
Ты изучишь призмы, пирамиды, усечённые пирамиды и правильные многогранники, научишься считать площади их поверхностей и строить сечения призмы и пирамиды, найдёшь элементы симметрии фигур в пространстве и напишешь итоговую работу в формате базового ЕГЭ.
- 🧊 Многогранник и призма: площадь поверхности Дадим точные определения многогранника и призмы, разберём прямые, наклонные и правильные призмы и научимся считать площадь их боковой и полной поверхности, в том числе у наклонной призмы.
- 🔺 Пирамида и правильная пирамида Разберёмся, куда проецируется вершина пирамиды, что такое правильная пирамида и апофема, научимся находить высоту, апофему и боковое ребро и считать площадь поверхности пирамиды и правильного тетраэдра.
- ✂️ Сечения призмы и пирамиды, усечённая пирамида Узнаем, как устроено сечение пирамиды, параллельное основанию, и почему его площадь меняется в k² раз, познакомимся с усечённой пирамидой и научимся находить площади диагональных и других простых сечений призмы и пирамиды.
- 🔮 Симметрия в пространстве и правильные многогранники Разберём три симметрии в пространстве, найдём центр, оси и плоскости симметрии куба, тетраэдра, призмы и пирамиды, дадим определение правильного многогранника и докажем, что их ровно пять.
- 🧮 Стереометрия базового ЕГЭ: площади поверхностей и расчёты Соберём приёмы для заданий базового ЕГЭ по стереометрии: площадь поверхности составных многогранников, изменение площади при подобии и при изменении одного ребра, поиск элементов многогранника через прямоугольные треугольники.
- 🏁 Практикум: многогранники и итоги года Повторим весь год стереометрии по одной шпаргалке, разберём порядок действий в задаче и частые ошибки и решим итоговый вариант в формате базового ЕГЭ и первой части профильного.
🎯 Профиль: планиметрия второй части ЕГЭ
Для тех, кто сдаёт профильный ЕГЭ: ты вернёшься к планиметрии на новом уровне — скрытое подобие, теоремы Менелая и Чевы, лемма о трезубце и вневписанная окружность, формулы медианы и биссектрисы — и научишься решать и оформлять планиметрическую задачу с развёрнутым ответом.
- 🔍 Подобие в задачах второй части ЕГЭ Научимся находить подобные треугольники там, где их не видно с первого взгляда, — в треугольнике с высотами, в трапеции с диагоналями, у окружности — и считать через подобие отношения отрезков и площадей так, как этого требует задача с развёрнутым ответом.
- 🔗 Теоремы Менелая и Чевы Докажем теорему Менелая, познакомимся с теоремой Чевы, научимся записывать произведение отношений по правилу обхода и находить с его помощью, в каком отношении точка пересечения делит отрезки и какую долю площади занимает каждая часть треугольника.
- ⭕ Окружности в задачах второй части Добавим к теоремам об окружности из 8 класса инструменты второй части ЕГЭ: признак «отрезок виден под равными углами», лемму о трезубце, отрезки касательных к вписанной и вневписанной окружностям, окружности, вписанные в один угол, — и научимся не терять второй случай расположения.
- 🧮 Решение треугольников: медианы, биссектрисы, радиусы Найдём длину любого отрезка из вершины к противолежащей стороне через две теоремы косинусов, выведем формулы медианы и биссектрисы, повторим формулы радиусов и научимся проверять ответ: два решения, неравенство треугольника, больший угол против большей стороны.
- 🎯 Практикум: планиметрия второй части ЕГЭ Соберём инструменты модуля в одну шпаргалку, разберём, как решать и оформлять задачу «а) докажите; б) найдите», и прорешаем задачи в формате второй части ЕГЭ: подобие и площади, окружности и касательные, медианы и биссектрисы.
🧀 Профиль: сечения многогранников
Для профильного ЕГЭ: ты освоишь метод следов, научишься строить сечения, параллельные прямой и перпендикулярные ей, находить, в каком отношении сечение делит рёбра, и вычислять площадь сечения.
- 👣 Метод следов: сечения призмы и пирамиды Научимся строить сечения, когда простых правил не хватает: находить след секущей плоскости, точки пересечения прямых с плоскостью основания и доказывать, в каком отношении сечение делит ребро.
- 🔷 Сечения: параллельность, отношения и площадь Научимся строить сечения, параллельные прямой и перпендикулярные ей, находить, в каком отношении сечение делит рёбра, и считать площадь сечения — всё, что нужно для пункта «б».
- 🧀 Практикум: сечения многогранников Повторяем всё о сечениях — правила построения, метод следов, отношения и площади — и решаем задачи в формате второй части профильного ЕГЭ.
📡 Профиль: расстояния и углы в пространстве
Для профильного ЕГЭ: ты научишься находить расстояния от точки до прямой и до плоскости, угол и расстояние между скрещивающимися прямыми, углы между прямой и плоскостью и между плоскостями и оформлять стереометрическую задачу второй части.
- 📍 Расстояние от точки до прямой и до плоскости Учимся находить расстояние от точки до прямой как высоту треугольника, опускать перпендикуляр на плоскость через перпендикулярную ей плоскость и заменять неудобную точку удобной.
- ✖️ Скрещивающиеся прямые: угол и расстояние Находим угол между скрещивающимися прямыми переносом и теоремой косинусов, а расстояние — через параллельную плоскость или проекцию на плоскость, перпендикулярную одной из прямых.
- 📐 Угол между прямой и плоскостью: приёмы второй части Находим угол между прямой и плоскостью через проекцию, через расстояние без построения проекции и в случае, когда основание перпендикуляра лежит вне многогранника.
- 🪟 Угол между плоскостями и площадь проекции Находим угол между плоскостями через линейный угол, даже когда линии пересечения нет на рисунке, доказываем формулу площади ортогональной проекции и считаем угол через расстояния.
- 🎯 Практикум: стереометрическая задача ЕГЭ Собираем все способы найти расстояния и углы в пространстве в одну шпаргалку, учимся оформлять пункты «докажите» и «найдите» и решаем задачи второй части.
Первые 5 уроков — бесплатно
Регистрация по почте не нужна: вход через мессенджер MAX занимает одно касание.