9 класс
Алгебра, 9 класс
Целый год алгебры с подготовкой к ОГЭ: действительные числа и погрешность, квадратичная функция и сдвиги графиков, уравнения высших степеней и замена переменной, нелинейные системы, квадратные неравенства и метод интервалов, прогрессии и сложные проценты — и разбор второй части экзамена.
Мини-игры в этом курсе
Программа курса
🔢 Действительные числа и приближения
Ты научишься переводить периодические дроби в обыкновенные, уверенно располагать рациональные и иррациональные числа на координатной прямой, находить абсолютную и относительную погрешность, понимать запись a ± h и прикидывать ответ до вычислений, чтобы не ошибиться в запятой и в порядке числа.
- 🔢 Действительные числа: периодические дроби и числовая прямая Числовые множества N, Z, Q, R и знаки ∈, ∉, ⊂, перевод любой периодической дроби в обыкновенную, почему 0,(9) = 1, когда сумма иррациональных чисел рациональна и как решать задания ОГЭ с числами на координатной прямой.
- 🎯 Приближённые значения: погрешность и прикидка Абсолютная и относительная погрешность, что означает запись a ± h, как честно считать с приближёнными данными и как прикидка до вычисления ловит ошибку в запятой и в порядке ответа.
- 🏋️ Практикум: действительные числа и приближения Повторяем модуль в формате ОГЭ: числовые множества, перевод периодических дробей, сравнение действительных чисел, числа на координатной прямой, погрешность, округление результата и прикидка.
🏀 Квадратичная функция
Ты научишься строить параболу y = ax² + bx + c по вершине, оси и нулям, сдвигать любые графики параллельным переносом, читать по рисунку знаки коэффициентов и свойства функции, находить наибольшее значение в практических задачах и решать задания ОГЭ с графиком и параметром.
- 🌉 Функция y = ax²: как коэффициент меняет параболу Разберёмся, как один коэффициент a делает параболу узкой или широкой и разворачивает её ветви вниз, прочитаем свойства функции y = ax² по знаку a и научимся находить a по одной точке графика.
- ↔️ Сдвиги графиков: параллельный перенос Научимся сдвигать любой известный график вверх, вниз, вправо и влево, поймём, почему в скобке знак «наоборот», будем по формуле y = a(x − m)² + n сразу видеть вершину параболы, а по графику — восстанавливать формулу.
- ✒️ Квадратичная функция: вершина и построение графика Увидим, что график любой квадратичной функции y = ax² + bx + c — это сдвинутая парабола y = ax², выведем формулу вершины x₀ = −b/(2a) и научимся строить параболу по плану: ветви, вершина, ось, точка на оси Oy, нули.
- 🧭 Свойства параболы и знаки коэффициентов Научимся читать по параболе множество значений, промежутки возрастания и знакопостоянства, определять по рисунку знаки a, b, c и дискриминанта, узнавать любую изученную функцию по графику и находить наибольшее значение в практических задачах.
- ⭕ Графики с выколотыми точками и параметром Разберём главное задание второй части ОГЭ про графики: упростим дробь, не забыв про ОДЗ и выколотые точки, построим кусочную функцию и найдём все значения параметра, при которых прямая имеет с графиком одну, две или три общие точки.
- 🏀 Практикум: квадратичная функция Соберём весь модуль в одну шпаргалку — вершина, сдвиги, знаки коэффициентов, выколотые точки, — отработаем алгоритм соответствия графиков и формул и прорешаем задания в формате ОГЭ, от блица до задачи с параметром.
🧩 Уравнения с одной переменной
Ты научишься решать уравнения третьей и четвёртой степени разложением на множители и подбором корня, выбирать удачную замену переменной, решать сложные дробно-рациональные уравнения без посторонних корней и текстовые задачи на движение по кругу, вдогонку и со средней скоростью.
- 🧱 Уравнения высших степеней: разложение на множители Решаем уравнения третьей и четвёртой степени без всяких формул: выносим общий множитель, группируем, раскладываем разность квадратов и подбираем целый корень — и понимаем, почему корней не бывает больше, чем степень.
- 🪄 Замена переменной: новые приёмы Учимся видеть замену там, где её никто не подсказывает: трёхчленные уравнения шестой степени, произведение четырёх скобок, скрытый повтор, модуль и симметричная замена — и всегда доводим решение до обратной замены.
- ➗ Дробно-рациональные уравнения: сложные случаи Решаем дробные уравнения, где одного общего знаменателя мало: замена t = 1/x, повторяющееся выражение, пара взаимно обратных дробей, выход в кубическое уравнение и дроби, которые сокращаются цепочкой, — и строго отбираем корни по ОДЗ.
- 🏃 Задачи на движение: по кругу, вдогонку, средняя скорость Решаем задачи ОГЭ на движение нового типа: обгон и встреча на круговой трассе, поезд мимо столба и через мост, средняя скорость на всём пути и погоня, которая приводит к квадратному уравнению.
- 🏋️ Практикум: уравнения с одной переменной Повторяем весь модуль в формате ОГЭ: выбираем приём для целого уравнения, делаем замену, решаем дробные уравнения с ОДЗ и задачи на движение — и оформляем решение так, чтобы эксперт не снял ни балла.
🔗 Системы уравнений
Ты научишься строить графики уравнений с двумя переменными — окружности, параболы, гиперболы, определять число решений системы по рисунку, решать системы двух уравнений второй степени подстановкой, сложением и заменой и составлять системы по текстовым задачам.
- ⭕ Уравнение с двумя переменными и его график Учимся видеть за уравнением с x и y линию на плоскости — окружность, параболу, гиперболу, пару прямых — и по рисунку определять, сколько решений у системы.
- 🧮 Нелинейные системы: подстановка, сложение, замена Решаем системы, где оба уравнения второй степени: сложением убираем квадраты, однородное уравнение раскладываем на множители, симметричную систему сводим к сумме и произведению — и не теряем ни одной пары.
- 🚴 Задачи системами уравнений Переводим условие с двумя неизвестными в систему — часто нелинейную: рамка с диагональю, две трубы, велосипедисты навстречу, сплавы — и отбираем решения по смыслу задачи.
- 📝 Практикум: системы уравнений Повторяем весь модуль — графики уравнений, способы решения систем второй степени и задачи системами — и решаем задания в формате ОГЭ с полной записью и проверкой.
⚖️ Неравенства
Ты научишься решать квадратные неравенства по эскизу параболы, неравенства с произведениями и дробями — методом интервалов, решать системы и совокупности неравенств, находить, где выражение имеет смысл, и изображать решения неравенств с двумя переменными областями на плоскости.
- 🎢 Квадратные неравенства Решаем неравенства с x² по эскизу параболы: находим нули, смотрим на ветви и выбираем, где график выше или ниже оси Ox.
- 🚦 Метод интервалов Решаем неравенства с произведениями и дробями: отмечаем нули на прямой, расставляем знаки, учитываем кратные корни и выколотые нули знаменателя.
- 🔀 Системы и совокупности неравенств Решаем системы, где есть квадратное неравенство, знакомимся с совокупностью — неравенствами через «или», раскрываем модуль и находим, где выражение имеет смысл.
- 🎯 Неравенства с двумя переменными: области на плоскости Учимся изображать решения неравенств с двумя переменными: полуплоскости, круги, области над параболой — и их пересечения для систем.
- 📝 Практикум: неравенства Повторяем весь модуль — квадратные неравенства, метод интервалов, системы и совокупности, области на плоскости — и решаем задания в формате ОГЭ.
🪜 Числовые последовательности
Ты научишься задавать последовательности формулой n-го члена и рекуррентно, находить члены и суммы арифметической и геометрической прогрессий, отличать линейный рост от экспоненциального и считать сложные проценты по вкладам, кредитам и ценам.
- 🧮 Числовые последовательности Что такое последовательность и чем номер отличается от члена, три способа её задать — формулой n-го члена, рекуррентно и словами, почему её график — отдельные точки и как решать задания ОГЭ «найди член» и «является ли число членом».
- 🪜 Арифметическая прогрессия Разность прогрессии и формула n-го члена aₙ = a₁ + (n − 1)d, прогрессия по двум членам, характеристическое свойство, число членов с условием и линейный рост: почему точки прогрессии лежат на прямой.
- ➕ Сумма арифметической прогрессии Вывод формулы суммы через «перевёрнутую» сумму, две формы Sₙ, сумма первых нечётных чисел, число членов по сумме через квадратное уравнение и практические задачи ОГЭ про ряды мест и штабели.
- 📈 Геометрическая прогрессия Знаменатель и формула n-го члена bₙ = b₁qⁿ⁻¹, прогрессия по двум членам и два возможных знаменателя, характеристическое свойство и среднее геометрическое, экспоненциальный рост против линейного и задачи ОГЭ «каждый час вдвое».
- 🌳 Сумма геометрической прогрессии Вывод формулы суммы умножением на q и вычитанием, две удобные формы записи, суммы с отрицательным и дробным знаменателем, случай q = 1, цепочки распространения новостей и число членов по сумме.
- 💰 Сложные проценты: линейный и экспоненциальный рост Простые проценты — арифметическая прогрессия, сложные — геометрическая с q = 1 + p/100: формула S = S₀(1 + p/100)ⁿ для вкладов, кредитов и уценки, ставка по результату, эффективная ставка и задачи ОГЭ на изменения цены подряд.
- 🏁 Практикум: прогрессии Собираем модуль: шпаргалка по двум прогрессиям рядом, короткий план решения, разбор задачи с отбором корней, частые ошибки, блиц на скорость и задания в формате ОГЭ — члены и суммы прогрессий, практические задачи и сложные проценты.
🏁 Итоги года: к ОГЭ
Ты соберёшь алгебру 7–9 классов в одну систему: быстро и с прикидкой решишь задания первой части ОГЭ, оформишь по критериям полное решение уравнения, неравенства, системы, текстовой задачи и графика с параметром и проверишь себя на итоговой смеси заданий.
- 🧮 Первая часть ОГЭ: вычисления, формулы, практические задачи Как без калькулятора и без потерь решать короткие задания ОГЭ: удобная форма записи и прикидка, расчёт по формуле, тарифы, скидки и графики реальных процессов — и проверка ответа перед записью в бланк.
- ✍️ Вторая часть ОГЭ: полное решение Как оформить развёрнутый ответ так, чтобы проверяющий поставил полный балл: равносильные переходы, образцы полной записи уравнения, неравенства и текстовой задачи, план решения графика с параметром и проверка по критериям.
- 🏁 Практикум: итоги 9 класса Генеральная репетиция перед ОГЭ: шпаргалка года на одном экране, план распределения времени, частые ошибки 9 класса и смесь заданий по всем темам — от прикидки до полного решения.
Первые 5 уроков — бесплатно
Регистрация по почте не нужна: вход через мессенджер MAX занимает одно касание.