8 класс
Алгебра, 8 класс
Целый год алгебры: алгебраические дроби, степень с целым показателем, квадратные корни и иррациональные числа, квадратные уравнения и теорема Виета, неравенства, гипербола и парабола — с подготовкой к ВПР и заданиями в формате ОГЭ.
Мини-игры в этом курсе
Программа курса
➗ Алгебраические дроби
Ты научишься находить область допустимых значений дроби, сокращать дроби через разложение на множители, складывать, вычитать, умножать и делить алгебраические дроби и превращать длинное рациональное выражение в одну дробь, чтобы считать его значение без ошибок.
- ➗ Алгебраическая дробь: ОДЗ и сокращение Разберёмся, что такое алгебраическая дробь, научимся находить её область допустимых значений, вычислять значение при данном x и сокращать через разложение на множители — не трогая слагаемые.
- ➕ Сложение и вычитание алгебраических дробей Складываем и вычитаем дроби с одинаковыми и разными знаменателями: раскладываем знаменатели, подбираем недостающие множители, берём вычитаемый числитель в скобки и не забываем сократить результат.
- ✖️ Умножение, деление и степень алгебраических дробей Умножаем дроби «числитель на числитель», но только после разложения и сокращения, возводим дробь в степень, делим через обратную дробь и следим за новыми ограничениями, которые добавляет делитель.
- 🧮 Преобразование рациональных выражений Собираем все действия с дробями в одно: нумеруем действия, разбираем «дробь в дроби», доказываем тождества и находим значение выражения — сначала упростив, а потом подставив число из ОДЗ.
- 🏁 Практикум: алгебраические дроби Повторяем весь модуль: шпаргалка по действиям с дробями, план решения «как на ОГЭ», разбор четырёх типов заданий и тренировка в формате ВПР и ОГЭ — от ОДЗ до тождеств.
🔬 Степень с целым показателем
Ты поймёшь, почему 2⁻³ — это 1/8, научишься применять свойства степени при любых целых показателях, записывать очень маленькие числа в стандартном виде и сравнивать размеры атома, клетки и планеты в одной записи.
- 🔬 Степень с отрицательным показателем и её свойства Продолжим ряд степеней ниже нуля, поймём, почему 2⁻³ — это 1/8, а не −8, проверим, что все свойства степени работают при целых показателях, и научимся переносить множители через дробную черту.
- 🔭 Стандартный вид числа: от атома до Галактики Научимся записывать очень маленькие числа в стандартном виде с отрицательным порядком, читать приставки милли-, микро- и нано-, умножать, делить, складывать и сравнивать числа в стандартном виде — и выстроим в один ряд молекулу, вирус, клетку, Землю и Галактику.
- 🎯 Практикум: степень с целым показателем Повторяем степень с целым показателем, её свойства и стандартный вид числа с любым порядком, разбираем частые ошибки и решаем задания в формате ВПР и ОГЭ: значение выражения со степенями, дробь с буквами, стандартный вид и задача из физики.
🌱 Квадратные корни и действительные числа
Ты узнаешь, что такое арифметический квадратный корень и почему √2 нельзя записать дробью, научишься решать уравнение x² = a, оценивать корни с нужной точностью, применять свойства корней, выносить множитель из-под знака корня и избавляться от корня в знаменателе.
- 🌱 Арифметический квадратный корень и уравнение x² = a Квадратный корень появляется из площади квадрата: разбираем, чем арифметический корень отличается от корней уравнения x² = a, считаем корни из точных квадратов и решаем уравнения вида (x − 1)² = 16.
- ♾️ Иррациональные и действительные числа Почему √2 нельзя записать дробью, что такое иррациональные и действительные числа, как зажать корень между десятичными приближениями и сравнить числа с корнями без калькулятора.
- 🧮 Свойства арифметического квадратного корня Корень из произведения, дроби и степени: доказываем три свойства через определение, извлекаем большие корни через простые множители и выясняем, почему для суммы такого правила нет.
- 🔧 Преобразование выражений с корнями Выносим множитель из-под знака корня и вносим обратно, складываем подобные корни, применяем формулы сокращённого умножения с корнями и избавляемся от корня в знаменателе.
- 🎯 Практикум: квадратные корни Повторяем модуль: определение корня, уравнение x² = a, иррациональные числа, свойства и преобразования — со шпаргалкой, планом действий, частыми ошибками и заданиями в формате ВПР и ОГЭ.
🎯 Квадратные уравнения
Ты научишься решать неполные квадратные уравнения разложением, любые — по формуле корней через дискриминант, приведённые — устно по теореме Виета, раскладывать квадратный трёхчлен на множители и сводить к квадратным уравнения со скобками и биквадратные.
- 🎯 Квадратное уравнение: виды и неполные уравнения Знакомимся с уравнением ax² + bx + c = 0: называем коэффициенты, приводим к стандартному виду, решаем неполные уравнения вынесением x и извлечением корня, а полное — выделением полного квадрата.
- 🔑 Формула корней и дискриминант Один раз выделяем полный квадрат в общем виде и получаем формулу корней: считаем дискриминант, по его знаку узнаём число корней, упрощаем неудобные коэффициенты, пользуемся короткой формулой для чётного b и правильно сокращаем ответ с корнем.
- 🤝 Теорема Виета Сумма корней приведённого уравнения равна −p, произведение равно q: доказываем это, подбираем корни устно, узнаём знаки корней по коэффициентам, проверяем решения за секунду и решаем обратные задачи — от поиска коэффициента до суммы квадратов корней.
- 🧩 Квадратный трёхчлен: разложение на множители Любой трёхчлен с корнями раскладывается по формуле ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂): учимся находить корни, не терять множитель a, узнавать полный квадрат по D = 0, сокращать дроби с трёхчленами и находить наименьшее значение трёхчлена.
- 🎭 Уравнения, сводящиеся к квадратным Снимаем с уравнений маскировку: раскрываем скобки, убираем числовые знаменатели, решаем распадающиеся уравнения через произведение, равное нулю, и биквадратные — заменой t = x², не забывая вернуться к x.
- 🏁 Практикум: квадратные уравнения Собираем модуль: шпаргалка по всем способам, порядок действий на проверочной, разбор уравнения с полной записью, частые ошибки, блиц на скорость и задания в формате ВПР и ОГЭ.
🧭 Рациональные уравнения и задачи
Ты научишься решать уравнения с переменной в знаменателе и отсеивать посторонние корни, составлять квадратные и дробные уравнения по задачам на движение по реке, совместную работу, числа и площади, отбирать корни по смыслу и решать системы, где одно из уравнений второй степени.
- ➗ Дробно-рациональные уравнения Учимся решать уравнения, в которых переменная стоит в знаменателе: сначала ОДЗ, потом общий знаменатель — и обязательная проверка, не пробрался ли в ответ посторонний корень.
- 🚤 Текстовые задачи: движение, работа, числа Составляем квадратные и дробные уравнения по задачам на движение по реке, совместную работу, числа и площади — и учимся отбирать корни по смыслу: не всякий корень уравнения годится в ответ.
- 🧩 Системы с уравнением второй степени Решаем системы, где одно уравнение линейное, а другое второй степени: подстановка приводит к квадратному уравнению, а каждое решение — пара чисел. Смотрим, как такие уравнения выглядят на координатной плоскости.
- 🏁 Практикум: рациональные уравнения и задачи Собираем модуль: шпаргалка по дробным уравнениям, задачам и системам, оформление задачи как на ОГЭ, разбор частых ошибок и задания в формате ВПР и ОГЭ.
⚖️ Неравенства
Ты научишься доказывать и оценивать числовые неравенства, решать линейные неравенства и не забывать менять знак при делении на отрицательное число, записывать ответ промежутком, решать системы и двойные неравенства и находить их целые решения — как в заданиях ОГЭ.
- ⚖️ Числовые неравенства и их свойства Научимся доказывать неравенства через разность, разберём их свойства и то, почему при умножении на отрицательное число знак переворачивается, и оценим сумму, разность, произведение и частное величин, известных лишь приблизительно.
- ➡️ Линейные неравенства с одной переменной Разберёмся, что значит решить неравенство, какие преобразования сохраняют его решения и когда знак переворачивается, научимся записывать ответ промежутком и отвечать на вопросы ОГЭ про целые решения.
- 🔗 Системы неравенств и двойные неравенства Научимся решать системы неравенств как пересечение промежутков, разберём четыре картинки на прямой, переведём двойное неравенство в систему и найдём область допустимых значений выражения с корнями.
- 🏁 Практикум: неравенства Соберём весь модуль в одну шпаргалку, пройдём по шагам решение неравенства и системы, разберём частые ошибки и потренируемся на заданиях в формате ВПР и ОГЭ: оценка, неравенство, система, рисунок, целые решения.
📈 Функции и графики
Ты познакомишься с гиперболой y = k/x, параболой y = x², кубической параболой и графиком y = √x, научишься читать их свойства и узнавать по формуле, строить кусочно-заданные функции, читать графики реальных процессов и решать уравнения и системы по графикам с проверкой.
- ⚖️ Функция y = k/x и гипербола Построим гиперболу по точкам, узнаем, почему её ветви никогда не дотянутся до осей, научимся находить k по одной точке графика и читать такие графики в задачах про скорость, давление и цену.
- 🛰️ Функции y = x² и y = x³ Построим параболу y = x² и кубическую параболу y = x³, прочитаем их свойства по графику, разберёмся, что такое чётная и нечётная функции, и увидим, почему x³ = −8 имеет корень, а x² = −8 — нет.
- 🌅 Функция y = √x Построим график y = √x, увидим, почему он растёт всё медленнее и не заходит влево от нуля, сравним его с параболой, решим уравнение с корнем по графику и узнаем, как далеко видно с крыши и из самолёта.
- 🪜 Кусочно-заданные функции и график y = |x| Разберём функции, заданные разными формулами на разных промежутках: научимся строить их по кускам, находить значение по нужному куску, читать ступенчатые графики тарифов и записывать y = |x − 2| без модуля.
- 🎯 Графическое решение уравнений и систем Научимся решать уравнения и системы по графикам: где парабола встречается с прямой, сколько раз гипербола пересекает прямую, когда корней нет вовсе, — и всегда проверять найденное подстановкой, ведь картинка даёт лишь приближённый ответ.
- 🏁 Практикум: функции и графики Соберём все графики года в одну шпаргалку — гипербола, парабола, кубическая парабола, корень, модуль и кусочные функции, — отработаем приём «форма → знак → контрольная точка» и прорешаем задания в формате ВПР и ОГЭ на скорость.
🏁 Итоги года
Ты соберёшь весь год в одну карту: научишься выбирать нужное преобразование и нужный способ решения, видеть одну задачу как уравнение, неравенство и график — и проверишь себя на заданиях в формате ВПР и ОГЭ.
- 🗺️ Преобразования года: дроби, степени, корни Соберём преобразования года в одну карту — дробь сократи, степень переверни, множитель вынеси из-под корня, трёхчлен разложи, — найдём значения выражений в формате ОГЭ, научимся сравнивать числа разной природы и проверять себя подстановкой удобного числа.
- 🧭 Уравнения, неравенства и задачи: от условия к ответу Учимся выбирать способ решения по виду уравнения, смотрим на одну ситуацию с мячом глазами уравнения, неравенства и графика, разбираем полную запись текстовой задачи с отбором корней и собираем список проверок, которые спасают баллы.
- 🏁 Практикум: итоги 8 класса Собираем алгебру 8 класса в одну шпаргалку — от ОДЗ и корней до графиков, — разбираем семь ошибок года, учимся проходить проверочную в выгодном порядке и решаем итоговые задания в формате ВПР и ОГЭ.
Первые 5 уроков — бесплатно
Регистрация по почте не нужна: вход через мессенджер MAX занимает одно касание.