11 класс
Алгебра и начала математического анализа, 11 класс
Выпускной год алгебры и начал анализа с подготовкой к ЕГЭ: показательная и логарифмическая функции, производная и её применение, первообразная и интеграл, тригонометрические неравенства, системы и целые числа, итоговое повторение — и профильные модули второй части: неравенства и уравнения с отбором корней, исследование функций и экономическая задача, параметр, задачи на числа.
Мини-игры в этом курсе
Программа курса
📈 Показательная функция
Ты научишься строить и читать графики показательной функции y = aˣ при a > 1 и 0 < a < 1, сравнивать степени через монотонность, находить коэффициенты по графику, описывать рост и распад формулой и решать показательные уравнения и неравенства тремя приёмами — приведением к одному основанию, вынесением общего множителя и заменой переменной.
- 📈 Показательная функция: свойства, график, рост и распад Что такое y = aˣ, почему основание положительно и не равно единице, как выглядит график при a > 1 и при 0 < a < 1, как по графику найти формулу и как показательная функция описывает рост и распад.
- 🧮 Показательные уравнения Сколько корней у уравнения aˣ = b и три главных приёма решения показательных уравнений: приведение к одному основанию, вынесение общего множителя и замена t = aˣ с условием t > 0.
- ⚖️ Показательные неравенства Как монотонность показательной функции решает неравенства: при основании больше 1 знак сохраняется, при основании меньше 1 меняется, а с заменой t = aˣ нужно помнить про t > 0 и возвращаться к x.
- 🏋️ Практикум: показательная функция, уравнения и неравенства Повторяем весь модуль в форматах ЕГЭ: свойства и графики y = aˣ, три приёма для уравнений, правило знака в неравенствах, коэффициенты по графику и задачи на рост и распад.
🔭 Логарифмы и логарифмическая функция
Ты узнаешь, что такое логарифм и зачем он нужен, научишься вычислять логарифмы по определению и по свойствам, переходить к новому основанию, пользоваться десятичными и натуральными логарифмами, строить график логарифмической функции, понимать логарифмические шкалы и решать логарифмические уравнения и неравенства, не теряя условий на область определения.
- 🔭 Логарифм числа: десятичный и натуральный Что такое логарифм и почему он появился как ответ на уравнение 2ˣ = 5, как вычислять логарифмы по определению и по основному логарифмическому тождеству, что такое lg и ln и как логарифм считает цифры числа.
- 🧮 Свойства логарифмов и переход к новому основанию Логарифм произведения, частного и степени, формула перехода к новому основанию и её следствия, вычисления как на ЕГЭ, расчёт срока удвоения вклада — и три «свойства», которых не существует.
- 📈 Логарифмическая функция и логарифмические шкалы График y = logₐ x как отражение показательной функции, монотонность и знак логарифма, сравнение логарифмов через разделяющее число, коэффициенты по графику, как на ЕГЭ, и шкалы, где шаг означает «во столько-то раз»: децибелы и pH.
- 🗝️ Логарифмические уравнения Простейшие уравнения logₐ x = b, равносильный переход в уравнении logₐ f = logₐ g, ОДЗ при сумме логарифмов, замена переменной, неизвестное в основании, логарифмирование и потенцирование — и главная ловушка экзамена: посторонний корень.
- ⚖️ Логарифмические неравенства Как монотонность логарифма превращает неравенство с логарифмами в систему, почему при основании меньше 1 знак меняется, как не потерять условие положительности и половину ответа при замене — и прикладная задача «через сколько месяцев», как на ЕГЭ.
- 🏋️ Практикум: логарифмы Повторение модуля перед ЕГЭ: шпаргалка по определению, свойствам и графикам, общий порядок решения логарифмических уравнений и неравенств, образцы решений, частые ошибки и задания в экзаменационных форматах.
🎯 Профиль: показательные и логарифмические задачи второй части
Ты научишься решать показательные неравенства с заменой, однородные и дробные, логарифмические неравенства с переменным основанием методом рационализации, комбинированные уравнения с отбором корней на отрезке — и оформлять решения так, как требуют критерии второй части профильного ЕГЭ.
- 📈 Показательные неравенства второй части: замена, однородность, дроби Разбираем показательные неравенства второй части: дробь с показательным знаменателем, однородное неравенство с 4ˣ, 6ˣ и 9ˣ, взаимно обратные слагаемые и произведение множителей разного типа — и оформляем решение по критериям.
- 🪜 Логарифмические неравенства: переменное основание и метод рационализации Решаем логарифмические неравенства с переменным основанием двумя способами — разбором случаев и методом рационализации — и не теряем ОДЗ: основание больше нуля и не равно единице, аргумент положителен.
- 🎯 Комбинированные уравнения с отбором корней Решаем уравнения второй части, где встречаются показательная, логарифмическая и тригонометрическая функции: сводим их заменой к простейшим, не теряем корни при логарифме чётной степени и отбираем корни на отрезке — в том числе корни вида log₂ 5.
- 📝 Практикум: неравенство и уравнение второй части Повторяем модуль перед экзаменом: таблица рационализации, замены t = aˣ и t = logₐ x, порядок записи неравенства и уравнения с отбором корней — и решаем задачи в формате второй части.
🏎️ Производная
Ты поймёшь, что такое предел и непрерывность функции и почему работает метод интервалов, узнаешь производную как мгновенную скорость изменения и угловой коэффициент касательной, научишься находить производные степенных, тригонометрических, показательных и логарифмических функций, суммы, произведения, частного и функции от kx + b и составлять уравнение касательной.
- 🧵 Предел и непрерывность функции; метод интервалов Что значит «значения функции подходят к числу», почему непрерывная функция меняет знак только через нуль и как на этом держится метод интервалов для неравенств с логарифмами и степенями.
- 🏐 Производная: скорость изменения и касательная Из средней скорости подброшенного мяча рождается производная: находим её по определению, видим в ней наклон касательной и скорость в данный момент и читаем её знак по графику.
- 🧮 Производные элементарных функций и правила дифференцирования Таблица производных от степени до логарифма, четыре правила, производная функции от kx + b и уравнение касательной — всё, чтобы находить производные без пределов.
- 🏁 Практикум: производная Повторяем модуль и тренируемся на задачах ЕГЭ: производная по рисунку, касательная, скорость, вычисление производных — и учимся не терять знак и множитель.
🏔️ Применение производной
Ты научишься по знаку производной находить промежутки монотонности и точки экстремума, читать графики функции и её производной, как в заданиях ЕГЭ, находить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке и решать прикладные задачи — на наилучший выбор, скорость и ускорение.
- 📈 Монотонность и точки экстремума Знак производной показывает, где функция растёт и где убывает, а смена знака — где у неё максимум и минимум: находим промежутки монотонности и точки экстремума без графика, в том числе у функций с eˣ и ln x.
- 🔍 Графики функции и её производной: задачи ЕГЭ по рисунку Один и тот же вопрос решается по-разному на графике функции и на графике производной: учимся читать оба рисунка, находить по ним промежутки монотонности, точки экстремума, точки с заданным наклоном касательной и моменты остановки тела.
- 🏁 Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке Непрерывная функция на отрезке всегда достигает наибольшего и наименьшего значений: ищем их по алгоритму «производная → критические точки внутри отрезка → значения в них и на концах» для многочленов, логарифма, экспоненты и тригонометрии.
- 🥫 Производная в прикладных задачах: наилучший выбор, скорость и ускорение Как выбрать размеры огорода, банки или цену товара наилучшим образом и как по закону движения найти скорость, ускорение и моменты остановки: схема задачи на оптимизацию и вторая производная.
- 🧰 Практикум: применение производной Повторяем модуль в формате ЕГЭ: точки экстремума, наибольшее и наименьшее значения на отрезке, график производной, скорость и ускорение, прикладная задача — со шпаргалкой, быстрым алгоритмом и разбором частых ошибок.
💼 Профиль: исследование функций и экономическая задача
Ты научишься находить наибольшие и наименьшие значения функций с корнями, экспонентой, логарифмом и тригонометрией без калькулятора, исследовать выпуклость и асимптоты, пользоваться монотонностью в уравнениях, а также решать экономическую задачу второй части — кредиты с разными схемами платежей, вклады с пополнением и оптимальный выбор.
- 📈 Исследование функций: трудные случаи, выпуклость и асимптоты Наибольшие и наименьшие значения функций с корнем, экспонентой, логарифмом и тангенсом без калькулятора, вторая производная и выпуклость, асимптоты и монотонность как способ решать уравнения и доказывать неравенства.
- 🏦 Экономическая задача: кредиты Как устроен кредит в задаче ЕГЭ: начисление и платёж по периодам, равномерное уменьшение долга и арифметическая прогрессия, равные платежи и геометрическая прогрессия, обратные задачи и оформление на полный балл.
- 💰 Экономическая задача: вклады и оптимальный выбор Вклады с пополнением и сравнение вариантов по множителям, оптимальный выбор с помощью производной, целочисленные ограничения и функция прибыли — экономическая задача второй части ЕГЭ.
- 🎯 Практикум: исследование функций и экономическая задача Повторение модуля в формате ЕГЭ: шпаргалка по кредитам, вкладам и исследованию функции, образец полной записи экономической задачи, частые ошибки и задания первой и второй части.
🌄 Первообразная и интеграл
Ты научишься находить первообразные по таблице и правилам, в том числе проходящие через заданную точку, понимать интеграл как площадь криволинейной трапеции и путь по скорости, вычислять интегралы по формуле Ньютона — Лейбница и находить площади фигур под графиком и между графиками.
- 🔄 Первообразная Дифференцирование наоборот: по скорости восстанавливаем закон движения, находим первообразные по таблице и правилам, выбираем ту, что проходит через заданную точку, и доказываем первообразную проверкой производной.
- ⛰️ Интеграл и площадь криволинейной трапеции Площадь под графиком приближаем суммами прямоугольников, переходим к пределу — интегралу — и вычисляем его одной разностью F(b) − F(a) по формуле Ньютона — Лейбница.
- 📐 Площади фигур и физический смысл интеграла Считаем площади между графиками и фигур из частей, экономим вычисления на симметрии и узнаём, что интеграл скорости — перемещение, интеграл силы — работа, а интеграл расхода — объём.
- 🏁 Практикум: первообразная и интеграл Повторяем модуль: таблица первообразных рядом с таблицей производных, формула Ньютона — Лейбница, площади и путь — и решаем задачи в формате ЕГЭ по графику первообразной, по графику функции и по формуле.
🔢 Неравенства, системы и целые числа
Ты научишься решать простейшие тригонометрические неравенства на окружности, решать системы и совокупности уравнений и неравенств, в том числе графически, находить НОД алгоритмом Евклида и решать задачи в целых числах — от монет и упаковок до линейных диофантовых уравнений.
- 🌗 Тригонометрические неравенства Решаем простейшие неравенства с синусом, косинусом и тангенсом дугой на числовой окружности, разбираем крайние случаи, замену переменной и отбор корней по знаку функции.
- 🧩 Системы и совокупности: аналитически и графически Разбираемся, когда множества решений пересекают, а когда объединяют, решаем системы рациональных неравенств и системы с показательными и логарифмическими уравнениями, прикладную линейную систему и считаем решения по графикам.
- 🪙 Целые числа: алгоритм Евклида и уравнения в целых числах Находим НОД алгоритмом Евклида с остатками и выражаем его через сами числа, решаем линейные уравнения в целых числах и задачи ЕГЭ на монеты и упаковки, доказываем утверждения о делимости через остатки.
- 🎯 Практикум: неравенства, системы и целые числа Повторяем модуль в формате ЕГЭ: дуги решений тригонометрических неравенств, пересечение и объединение, подсчёт решений по графикам, алгоритм Евклида и задачи на монеты и упаковки.
🎛️ Профиль: задачи с параметром
Ты научишься решать задачи с параметром графически — семействами прямых, окружностей и квадратов, в плоскости (x; a) — и аналитически: через монотонность, симметрию, оценки и расположение корней квадратного трёхчлена, с оформлением ответа по критериям второй части.
- 🎛️ Параметр графически: семейства линий на плоскости Решаем задачи с параметром картинкой: в плоскости (x; a), подвижными прямыми, раздувающимися окружностями и квадратами, находим граничные значения через касание и прохождение через точку и оформляем ответ по критериям второй части ЕГЭ.
- 🧠 Параметр аналитически: монотонность, симметрия, оценки Решаем задачи с параметром без рисунка — через свойства функций: монотонность, чётность, ограниченность, расположение корней квадратного трёхчлена и замену с ограничением t > 0, с проверкой каждого найденного значения.
- 🏁 Практикум: задача с параметром Повторяем модуль: шпаргалка по выбору метода, схема оформления на полный балл, разбор системы с окружностью и «галочкой» и задачи с параметром в формате второй части ЕГЭ.
🧠 Профиль: задачи на числа и их свойства
Ты научишься решать задачу на числа и их свойства из второй части профильного ЕГЭ: подбирать примеры, доказывать невозможность через остатки, чётность и разложение на множители, а в пункте «найдите наибольшее» давать оценку и строить пример на ней.
- 🔍 Делимость и остатки: пример и доказательство невозможности Решаем уравнения в целых числах разложением на множители, доказываем «нельзя» остатками и чётностью, работаем с десятичной записью и перебором с оценкой — как в пунктах а) и б) задачи на числа второй части ЕГЭ.
- ⚖️ Оценка плюс пример: наборы чисел и средние Разбираем, что писать в каждом пункте задачи на числа, решаем задачи про наборы различных чисел, средние и суммы последовательных чисел по схеме «оценка плюс пример» и учимся записывать пункт в) так, чтобы засчитали оба балла.
- 🏁 Практикум: задача на числа и их свойства Собираем в шпаргалку остатки квадратов, чётность, разложение на множители, минимальные суммы и схему «оценка плюс пример», разбираем задачу из трёх пунктов целиком и решаем задачи в формате второй части ЕГЭ.
🏁 Итоговое повторение к ЕГЭ
Ты повторишь всё главное за 10–11 классы в формате базового ЕГЭ и первой части профильного: графики процессов и прикладные формулы, значения выражений и уравнения всех типов, производную и первообразную — и проверишь себя на пробном наборе заданий.
- 📊 Задачи из жизни: графики процессов и прикладные формулы Как читать график процесса — наибольшее значение, рост, крутизна и средняя скорость, — решать задачи с квадратичными и показательными формулами и сравнивать два процесса на одном рисунке так, как этого ждёт ЕГЭ.
- 🧩 Итоговое повторение: выражения, уравнения и функции Все типы заданий «найдите значение выражения» и «найдите корень уравнения» по одной схеме, графики элементарных функций, производная и первообразная на одной странице и проверка ответа перед записью в бланк.
- 🏁 Практикум: базовый ЕГЭ целиком Шпаргалка года на одной странице, план времени на экзамене, частые ошибки 10–11 классов и пробный набор заданий в формате базового ЕГЭ: вычисления, неравенства, производная по рисунку, интеграл и целые числа.
Первые 5 уроков — бесплатно
Регистрация по почте не нужна: вход через мессенджер MAX занимает одно касание.