10 класс
Алгебра и начала математического анализа, 10 класс
Целый год алгебры и начал анализа с подготовкой к ЕГЭ: делимость и определители, свойства функций и обратная функция, корни n-й степени и степени с рациональным показателем, тригонометрия от числовой окружности до уравнений, последовательности и число e — и отдельные профильные модули: иррациональные неравенства, модуль, параметр, текстовые задачи, отбор корней и первые шаги в производной.
Мини-игры в этом курсе
Программа курса
🔢 Числа, проценты и линейные системы
Ты научишься решать задачи ЕГЭ на числа с заданными свойствами через делимость и остатки, считать цепочки процентных изменений и выбирать выгодный тариф, прикидывать ответ в стандартной форме, а системы линейных уравнений решать через определитель и по правилу Крамера и сразу видеть, когда решений нет или их бесконечно много.
- 🔢 Числа, делимость и проценты: повторяем к ЕГЭ Остатки для любых целых чисел, составные признаки делимости, цепочки процентов и выбор тарифа, стандартная форма и прикидка — всё, что нужно для заданий базового ЕГЭ на числа.
- 🧮 Системы линейных уравнений: определитель и правило Крамера Матрица системы, определитель 2 × 2 и правило Крамера: как по одному числу узнать, сколько решений у системы, найти их по формулам и что определитель означает геометрически.
- 🏁 Практикум: числа, проценты и системы Повторяем модуль в формате ЕГЭ: признаки делимости и остатки, числа с заданными свойствами, цепочки процентов и выбор выгодного варианта, стандартная форма, системы по правилу Крамера.
📈 Функции и их свойства
Ты научишься находить по графику и по формуле все свойства функции — область определения, множество значений, нули, знаки, монотонность, точки экстремума и ограниченность, строго проверять чётность, строить графики растяжением и отражением, исследовать дробно-линейную функцию и находить обратную функцию.
- 📈 Свойства функции: от графика к формуле Переведём знакомые по графику свойства функции на строгий язык: научимся находить область определения и знаки по формуле, отличать точку максимума от наибольшего значения на отрезке и проверять, ограничена ли функция.
- 🪞 Чётность и преобразования графиков Разберёмся, как строго проверять чётность функции, и научимся строить графики растяжением, сжатием и отражением, в том числе с модулем, а по графику — считать корни уравнения и находить коэффициенты формулы.
- 🔁 Дробно-линейная функция и обратная функция Исследуем дробно-линейную функцию: выделим целую часть, найдём асимптоты и промежутки монотонности, — а потом разберёмся, какая функция обратима, как найти обратную и чем связаны графики взаимно обратных функций.
- 🧭 Практикум: функции и их свойства Соберём всё о функциях в одну шпаргалку — план исследования и таблицу преобразований — и потренируемся на заданиях в формате ЕГЭ: чтение графика, коэффициенты параболы и гиперболы, число корней и обратная функция.
🧮 Корни и степени
Ты научишься извлекать корни любой натуральной степени и преобразовывать выражения с ними, переходить от корней к степеням с рациональным показателем и обратно, узнавать графики степенных функций и функции y = ⁿ√x и решать иррациональные уравнения и простейшие неравенства без посторонних корней.
- 🌱 Корень n-й степени и его свойства Корни любой натуральной степени: когда они существуют, чем корень ⁿ√a отличается от корней уравнения xⁿ = a, как умножать, делить, выносить множитель и сравнивать корни и почему ⁴√(a⁴) = |a|.
- 🎚️ Степень с рациональным показателем Что значат 8²⁄³ и 16⁻³⁄⁴, почему дробные степени берут только от положительных чисел, как работают свойства степеней с дробными показателями и как сравнивать такие степени.
- 📈 Степенная функция и функция y = ⁿ√x Графики и свойства y = xⁿ, y = x⁻ⁿ и y = ⁿ√x: как узнать график по формуле, как сравнивать числа через монотонность и как решать уравнения, которые «в лоб» не решаются.
- ⚖️ Иррациональные уравнения и неравенства: равносильность и проверка Откуда берутся посторонние корни, чем равносильный переход отличается от перехода к следствию и как решать иррациональные уравнения и простейшие неравенства, не теряя верных ответов и не добавляя лишних.
- 📝 Практикум: корни и степени Повторяем весь модуль — корни n-й степени, дробные показатели, степенные функции, иррациональные уравнения — и решаем задания в формате ЕГЭ.
🎯 Профиль: уравнения, неравенства и текстовые задачи
Ты научишься решать иррациональные неравенства через системы и совокупности, уравнения и неравенства с несколькими модулями, текстовые задачи профильного ЕГЭ на работу, движение, смеси и проценты и первые задачи с параметром — аналитически и по графику, с оформлением по критериям второй части.
- ⚖️ Иррациональные неравенства: системы и совокупности Решаем неравенства с корнем без потерь и лишнего: √f < g — системой, √f > g — совокупностью двух систем, корень-множитель — с изолированной точкой, а уравнения с двумя радикалами — уединением радикала и заменой.
- 📏 Уравнения и неравенства с модулем Раскрываем модуль равносильными переходами: |f| = g, |f| < g и |f| > g, решаем уравнения с несколькими модулями методом интервалов и видим число корней на графике-«корыте».
- 🚴 Текстовые задачи профильного ЕГЭ: работа, движение, смеси Одна схема «скорость × время = результат» для трёх сюжетов ЕГЭ — совместной работы, движения с опозданием и смесей с двумя условиями, а в придачу сушка и повторные проценты.
- 🎛️ Первые задачи с параметром Параметр — число, которое ещё не выбрали: разбираем контрольные значения, задаём условия на корни через дискриминант и теорему Виета, отделяем параметр и читаем ответ по графику.
- 🎯 Практикум: профильные уравнения, неравенства и задачи Повторяем модуль перед экзаменом: равносильные переходы для корней и модулей, таблица «скорость × время», разбор параметра и оформление второй части по критериям.
🧭 Тригонометрические выражения
Ты научишься находить на числовой окружности точку для любого числа, определять синус, косинус, тангенс и котангенс по четверти и по одной известной функции, применять формулы приведения, сложения и двойного угла и находить значения тригонометрических выражений, как в заданиях ЕГЭ.
- ⭕ Числовая окружность: синус, косинус, тангенс и котангенс числа Наматываем числовую прямую на единичную окружность, определяем синус, косинус, тангенс и котангенс любого числа и учимся по четверти определять их знаки.
- 🔗 Тригонометрические тождества: по одной функции — все остальные Выводим тождества одного аргумента для любого числа, по одной функции и четверти находим все остальные, пользуемся чётностью и доказываем тождества.
- 🔄 Формулы приведения Сводим синус, косинус, тангенс и котангенс любого аргумента к функции острого угла: убираем полные обороты, ставим знак по четверти и меняем название, где нужно.
- ➕ Формулы сложения и двойного угла Выводим формулу косинуса разности через скалярное произведение, получаем из неё все формулы сложения и двойного угла и применяем их в заданиях ЕГЭ.
- 🏁 Практикум: тригонометрические выражения Повторяем модуль по шпаргалке, отрабатываем один алгоритм вычисления значений и решаем задания в формате ЕГЭ — на точность и на скорость.
🌊 Тригонометрические функции и уравнения
Ты научишься строить и читать графики синуса, косинуса, тангенса и котангенса, находить период функции, понимать смысл арккосинуса, арксинуса и арктангенса и решать простейшие тригонометрические уравнения и уравнения, сводящиеся к квадратным.
- 🌊 Функции y = sin x и y = cos x: синусоида и период Разбираемся, что такое периодическая функция и её период, разворачиваем числовую окружность в синусоиду и читаем по графикам синуса и косинуса все их свойства.
- 📈 Тангенс, котангенс и период функции y = f(kx + b) Строим тангенсоиду и график котангенса, учимся по формуле находить период функций вида sin(kx + b) и tg(kx + b), размах и сдвиг синусоиды и восстанавливать коэффициенты по графику.
- 🏹 Арккосинус, арксинус и арктангенс Разбираемся, какое из бесконечного множества чисел с данным синусом, косинусом или тангенсом назвали главным, строим графики обратных тригонометрических функций и учимся вычислять выражения вроде sin(arccos 0,6) и arccos(cos(4π/3)).
- 🎯 Уравнения cos x = a и sin x = a Выводим по окружности формулы корней уравнений cos x = a и sin x = a, разбираем частные случаи, уравнения со сложным аргументом и задания ЕГЭ, где нужно записать наибольший отрицательный корень.
- 🔑 Уравнения tg x = a и уравнения, сводящиеся к квадратным Решаем уравнения tg x = a и ctg x = a, а затем учимся превращать тригонометрическое уравнение в квадратное: сводить его к одной функции тождеством, делать замену, отбрасывать лишние значения и возвращаться к x.
- 🏁 Практикум: тригонометрические функции и уравнения Собираем модуль в одну систему: шпаргалка по графикам, аркам и формулам корней, порядок решения тригонометрического уравнения, частые ошибки и задания в формате ЕГЭ.
🏔️ Профиль: тригонометрия второй части ЕГЭ
Ты научишься преобразовывать тригонометрические выражения формулами понижения степени, суммы в произведение и вспомогательного угла, решать уравнения разложением на множители и однородные уравнения без потери корней и отбирать корни на промежутке с полной записью — как в уравнении второй части профильного ЕГЭ.
- 🎚️ Понижение степени, сумма и произведение тригонометрических функций Выводим из формул сложения и двойного угла три новых инструмента — понижение степени, переход от суммы к произведению и обратно, вспомогательный угол — и считаем с ними значения выражений, как на профильном ЕГЭ.
- 🧩 Разложение на множители и однородные уравнения Решаем тригонометрические уравнения разложением на множители и сведением к однородным — и учимся не терять корни там, где рука тянется разделить на cos x.
- 🎯 Отбор корней на промежутке и ограничения ОДЗ Отбираем корни тригонометрического уравнения на отрезке тремя способами, учитываем ограничения дроби и корня и оформляем пункт б) так, как требуют критерии ЕГЭ.
- 🏁 Практикум: тригонометрическое уравнение второй части ЕГЭ Собираем формулы и методы модуля в одну схему, разбираем образец полной записи уравнения с отбором корней и тренируемся на заданиях в формате профильного ЕГЭ.
♾️ Последовательности и бесконечные суммы
Ты научишься проверять последовательность на монотонность и ограниченность, понимать, что такое предел и откуда берётся число e, находить сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, переводить через неё периодические дроби и решать практические задачи на рост и сложные проценты, а в конце — проверишь себя на итоговой смеси заданий базового ЕГЭ за год.
- 📈 Монотонные и ограниченные последовательности; предел и число e Проверяем последовательность на монотонность и ограниченность, знакомимся с идеей предела и выясняем, почему у последовательности (1 + 1/n)ⁿ есть предел — число e.
- ♾️ Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и задачи на рост Находим сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии через предел, переводим с её помощью периодические дроби, решаем обратные и геометрические задачи и считаем рост вкладов — вплоть до непрерывных процентов.
- 🏁 Практикум: последовательности и итоги года Повторяем монотонность, предел, число e, бесконечные суммы и сложные проценты, а затем проверяем себя на итоговой смеси заданий базового ЕГЭ за 10 класс.
🚀 Профиль: начала производной
Ты научишься понимать производную как мгновенную скорость изменения и угловой коэффициент касательной, находить производные степенных и тригонометрических функций, суммы, произведения, частного и сложной функции, составлять уравнение касательной и решать задачи ЕГЭ на смысл производной.
- 📈 Производная: мгновенная скорость и касательная Из средней скорости на всё более коротком отрезке рождается производная: находим её по определению, видим в ней наклон касательной и скорость в данный момент.
- 🧮 Правила дифференцирования и уравнение касательной Таблица производных и правила вместо предела каждый раз: дифференцируем многочлены, произведения, дроби и сложные функции, составляем уравнение касательной и решаем задачи на скорость.
- 🎯 Практикум: производная Повторяем модуль: таблица и правила дифференцирования, касательная по рисунку и по формуле, скорость в момент времени — в формате заданий ЕГЭ.
Первые 5 уроков — бесплатно
Регистрация по почте не нужна: вход через мессенджер MAX занимает одно касание.